均布荷载弯矩计算公式推导（楼面等效均布活荷载的计算方法）

建筑结构荷载规范关于双向板楼面等效荷载计算方法的表达比较含糊，引起了对规范说明不同的理解，本文根据对规范的理解提出两种不同的计算方式，经过比较分析提出正确的计算方式 根据《建筑结构荷载规范》GB50009-2012附录 B“楼面等效均布活荷载的确定方法”的规定，对于单向板的计算已经有比较明确的公式和规定，本文不进行叙述，对于双向板的等效均布荷载计算方法，规范仅指出可按与单向板相同的原则，按四边简支板的绝对最大弯矩等值来确定。这样对规范的表述就有了不同理解，第一种理解为：按与单向板相同的计算方式进行计算；第二种理解：按四边简支板绝对最大弯矩等值的原则进行计算。两种方法计算比较如下：

1 按与单向板相同的计算原则进行计算

计算简图 1

1.1 基本资料

周边支承的双向板，板的跨度 Lx＝2800mm，板的跨度 Ly＝3500mm， 板的厚度 h＝150mm；

局部集中荷载 N＝42kN，荷载作用面的宽度 btx＝1000mm， 荷载作用面的宽度 bty＝1000mm；

垫层厚度 s＝100mm ；荷载作用面中心至板左边的距离 x＝1400mm，最左端至板左边的距离x1＝900mm，最右端至板右边的距离 x2＝900mm 荷载作用面中心至板下边的距离 y＝1750mm，最下端至板下边的距离 y1＝1250mm， 最上端至板上边的距离 y2＝1250mm

1.2 计算结果

1.2.1 荷载作用面的计算宽度

bcx＝btx+2*s+h＝1000+2*100+150＝1350mm

bcy＝bty+2*s+h＝1000+2*100+150＝1350mm

1.2.2 局部荷载的有效分布宽度

按上下支承考虑时局部荷载的有效分布宽度

当 bcy≥bcx，bcx≤0.6Ly 时，取 bx＝bcx+0.7Ly＝1350+0.7*3500＝3800mm

按左右支承考虑时局部荷载的有效分布宽度

当 bcx≥bcy，bcy≤0.6Lx 时，取 by＝bcy+0.7Lx＝1350+0.7*2800＝3310mm

1.2.3 绝对最大弯矩

1.2.3.1 按两端简支计算 Y 方向绝对最大弯矩将局部集中荷载转换为 Y 向线荷载

qy＝N*btx/(btx*bty)＝42*1/(1*1)＝42kN/m

根据静力计算手册得出简支梁局部均布荷载作用下的弯矩：

MmaxY＝qy*bty*Ly(2-bty/Ly)/8=42*1*3.5*(2-1/3.5)/8=31.5kN·m

1.2.3.2 按两端简支计算 X 方向绝对最大弯矩，将局部集中荷载转换为 X 向线荷载

qx＝N*bty/(btx*bty)＝42*1/(1*1)＝42kN/m

根据静力计算手册得出简支梁局部均布荷载作用下的弯矩：

MmaxX＝qx*btx*Lx(2-btx/Lx)/8=42*1*2.8*(2-1/2.8)/8=24.15kN·m

1.2.4 由绝对最大弯矩等值确定的等效均布荷载

按上下支承考虑时的等效均布荷载

qey＝8MmaxY/(bx*Ly^2)＝8*31.5/(3.8*3.5^2)＝5.41kN/m.

按左右支承考虑时的等效均布荷载

qex＝8MmaxX/(by*Lx^2)＝8*24.15/(3.31*2.8^2)＝7.44kN/m.

等效均布荷载 qe＝Max{qex,qey}＝Max{5.41,7.44}＝7.44kN/m.

2 按四边简支板绝对最大弯矩等值的原则进行计算

2.1 按四边简支计算跨中最大弯矩，计算条件同第一种计算方式

2.1.1 根据计算条件，应用建筑结构静力计算手册(p227)中局部均布荷载作用下的弯矩

系数表查出弯矩系数如下：

泊松比 μ=0；X 方向表中系数=0.1268,Y 方向表中系数=0.1017；

计算跨中弯矩：

Mx=表中系数×q×btx×bty=0.1268×42×1×1=5.33kN/m.

My=表中系数×q×btx×bty=0.1017×42×1×1=4.27kN/m.

调整为钢筋混凝土泊松比，重新计算跨中弯矩，μ=1/6

Mx(μ)=Mx+μMy=5.33+4.27/6=6.04kN/m.

My(μ)=My+μMx=4.27+5.33/6=5.16kN/m.

2.2 根据跨中弯矩相等原则用查表法反算等效均布荷载

2.2.1 根据计算条件，应用建筑结构静力计算手册(p216 页)中均布荷载作用下的弯

矩系数表查出弯矩系数如下：

泊松比 μ=0；X 方向表中系数=0.0561,Y 方向表中系数=0.0334；

计算跨中弯矩：(据公式 M=表中系数×qL2，L 为 Lx 与 Ly 中较小者)

Mx=表中系数×q×L2

=0.0561×q×2.82

My=表中系数×q×L2

=0.0334×q×2.82

调整为钢筋混凝土泊松比，重新计算跨中弯矩，μ=1/6,带入局部荷载作用下的最大弯矩

得：

Mx(μ)=Mx+μMy=0.0561×q×2.82+0.0334×q×2.82/6=6.04(1)

My(μ)=My+μMx=0.0334×q×2.82+0.0561×q×2.82/6=5.16(2)

由（1）式得 q=12.49kN/m.；

由（2）式得 q=15.39kN/m.；

取大值，等效均布荷载 q=15.39kN/m.

3 结果比较及结语

由计算结果可以明显看出，第一种计算方法得出的计算结果比第二种小很多，根据内力等值的原则，第二种计算方法应该是合理的，应该选用第二种计算方法。所以采用第一种计算方法得出的结果是不安全的。目前设计人员使用的部分辅助设计软件，例如 Morgain 结构快速设计，所采用的就是第一种计算方法，结构设计人员应重视此问题，以免设计过程中采用不正确的计算方法，给工程留下安全隐患。